Teoria dos Conjuntos

Símbolos Importantes:

Os símbolos a seguir são muito utilizados no estudo não só da Teoria dos Conjuntos, como também em outros tópicos de Matemática.

∈	Pertence
∉	Não Pertence
⊂	Está Contido
⊄	Não Está Contido
⊃	Contém
⊅	Não Contém
/	Tal Que ou Tais que
⇒ ou →	Implica ou Então
⇔ ou ↔	Se, e Somente Se
∃	Existe
∄	Não Existe
∀	Para Todo ou Qualquer
∅ ou { }	Conjunto Vazio
ℕ	Números Naturais
ℕ*	Números Naturais Excluindo o Zero
ℤ	Números Inteiros
ℤ _	Números Inteiros Negativos
ℤ +	Números Inteiros Positivos
ℚ	Números Racionais
I	Números Irracionais
ℝ	Números Reais
ℝ_	Números Reais Negativos
ℝ+	Números Reais Positivos
A U B	A União com B
A ∩ B	A Intersecção com B
A – B	Diferença de A com B
B – A	Diferença de B com A
a < b	a menor que b
a ≤ b	a menor ou igual que b
a > b	a maior que b
a ≥ b	a maior ou igual que b
a ^ b	a e b
a v b	a ou b

Conjunto Vazio:

È o conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por:

                            ∅ ou { }

Subconjuntos:

Quando todos os elementos de um conjunto B qualquer pertencem a outro conjunto A, diz-se então que B é subconjunto de A, ou seja:

                                               B ⊂ A

                       

Observação:

               B ⊂ B   e   ∅ ⊂ B

União de Conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, define-se como união de A com B ao conjunto  A U B formado por todos os elementos que pertencem a A ou B.

                                      
                                              A U B = { x / x  ∈ A ou x ∈ B}

A U B = A

Observações:

A U A = A

A U ∅ = A

Intersecção de conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, define-se como intersecção de A com B ao conjunto A ∩ BBformado por todos os elementos que pertencem a A e a B simultaneamente.

   A ∩ B = { x / x  ∈ A e x ∈ B}B = { x / x  ∈ A e x ∈ B}

A ∩ B = A

                          

OBSERVAÇÃO:

 A ∩ A = A A

A ∩ ∅ = ∅

Diferença de Conjuntos:

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B ao conjunto A – B formado por todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.

A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}

OBSARVAÇÂO:

Exemplo:

A = {2; 3; 4}

B = {1; 2; 4; 7}

·         A U B = {1; 2; 3; 4; 7}

·         A ∩ B = {2; 4} = {2; 4}

·         A – B = {3}

·         B – A = {1; 7}

Conjunto das Partes de um Conjunto:

O conjunto das partes de um conjunto qualquer é formado por todos os seus subconjuntos.

Se um conjunto A possuir n elementos, o total de subconjuntos que ele admite é igual a 2ⁿ.

Exemplo:

A = {1; 2; 3} ⇒ n = 3

Subconjuntos de A: 2³ = 8

∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

Representação Gráfica

A todo par ordenado (a; b) existe associado um ponto no plano e, reciprocamente, a todo ponto do plano existe associado um par ordenado.

Exemplo:

              A = {1, 2}

              B = {2, 3}

AxB = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2,3)}

Observação:

                   Geralmente, AxB ≠ BxA.