Potenciação

Potenciação

Dado um número real “a” qualquer, sendo “n” um número natural, define-se por a potência n ao produto de a por a, n vezes, ou seja,

aⁿ  = a . a . a . a .... a

     (n vezes)

Casos Particulares:

                            a⁰ = 1

                            a^-1 = 1/a (a≠0)

                            a¹ = a

Propriedades da Potenciação:

                            a^m . aⁿ = a^{m + n}

                            a^m : aⁿ = a^{m – n}

                            (a^m)ⁿ = a^{m . n}

                            (a . b)ⁿ = aⁿ . a^m  

                            (a : b)ⁿ = aⁿ : a^m

a^-n = 1/aⁿ

Observação:

                   (a^m)ⁿ ≠ a^mn

Exemplo:

                        2³² = 2⁹ = 512

                        (2³)² = 2⁶ = 64

Potências de 10:

                                   10ⁿ = 100000….0000

                                                                     n  zeros

                                               10 ^–n = 1/100000….00000

                                                                             n zeros

Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS  NUMÉRICOS

Números Naturais:

Os números naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar seus bens. Os símbolos que representam os números naturais são chamados de algarismos.

ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;...}

Números Inteiros:

Os números inteiros são todos os números naturais e também seus opostos.

ℤ = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...}

Observação:

            Todo número natural é inteiro.

                                ℕ  ⊂  ℤ

Números Racionais:

Os números racionais são aqueles que podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros.

ℚ = { x/x = p/q , onde p ∊ ℤ e q≠0}  

Observação:

           Todo número natural é racional.

           Todo número inteiro é racional.

                            ℕ  ⊂ ℚ  e   ℤ  ⊂  ℚ

Números Irracionais:

Os números irracionais são aqueles que não podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros.

Exemplo:

π = 3,1415926...

e = 2,7182818...

Números Reais:

O conjunto dos números reais é definido como a união entre os conjuntos dos números irracionais e racionais.

ℝ = ℚ U I

Visualização:

                                

Observação:

Todo número real pode ser representado por um ponto sobre uma reta e, reciprocamente, qualquer ponto sobre uma reta pode ser associado a um número real.

                                     

Intervalo Aberto:

É um subconjunto dos números reais que estão compreendidos entre dois reais quaisquer.

(a; b) = ]a; b[ = {x Є R/ a < x < b}

Intervalo Fechado:

É um subconjunto dos números reais que estão compreendidos entre dois reais quaisquer, podendo assumir os dois extremos.

[a; b] = [a; b] = {x Є R/ a ≤ x ≤ b}

Exemplo:

(2; 4) =  ]2; 4[ = {x Є R/ 2 < x < 4}

[2; 4] = [2; 4] = {x Є R/ 2 ≤ x ≤ 4}

Módulo de um Número

O módulo, ou valor absoluto, de um número real qualquer é a distância deste número à origem(zero). O módulo de um número real x pode ser definido também por:

           

  x, se x ≥ 0

                                                              |x| =     - x, se x < 0

                                                  

Exemplo:

               |-10| = - ( - 10) = 10

                |+ 7| = + 7 = 7 

                                                                   

Hoje, tempestade solar. Amanhã...

04/07/2012 03h39 - Atualizado em 04/07/2012 03h39

Tempestade solar deve atingir a Terra a partir desta quarta-feira, prevê Nasa

Nasa mostrou imagens de explosão solar.

Fenômeno viaja a 700 km/seg e pode afetar comunicações na Europa.

Do G1, com informações da Globo News

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A Agência Espacial Norte-Americana (Nasa) divulgou imagens de uma explosão solar que ocorreu na segunda-feira (2). Os efeitos do fenômeno, que forma uma série de tempestade, devem ser sentidos na Terra nesta quarta-feira (4).

A tempestade, que segundo a Nasa viaja a uma velocidade estimada de 700 km por segundo, foi causada por uma mudança no campo magnético do Sol. O fenômeno foi considerado pelos cientistas de média intensidade.

Na Terra, as partículas que foram liberadas no espaço podem atrapalhar transmissões de rádio na Europa e intensificar o fenômeno das auroras boreal e austral nos polos do planeta.

Imagens na Nasa mostram explosão solar que ocorreu na segunda-feira (2). (Foto: Nasa)

Essa é a primeira de uma série de tempestades solares previstas para os próximos dias, de acordo com a Nasa.


Fonte:http://g1.globo.com/ciencia-e-saude/noticia/2012/07/tempestade-solar-deve-atingir-terra-partir-desta-quarta-feira-preve-nasa.html

Teoria dos Conjuntos

Símbolos Importantes:

Os símbolos a seguir são muito utilizados no estudo não só da Teoria dos Conjuntos, como também em outros tópicos de Matemática.

∈	Pertence
∉	Não Pertence
⊂	Está Contido
⊄	Não Está Contido
⊃	Contém
⊅	Não Contém
/	Tal Que ou Tais que
⇒ ou →	Implica ou Então
⇔ ou ↔	Se, e Somente Se
∃	Existe
∄	Não Existe
∀	Para Todo ou Qualquer
∅ ou { }	Conjunto Vazio
ℕ	Números Naturais
ℕ*	Números Naturais Excluindo o Zero
ℤ	Números Inteiros
ℤ _	Números Inteiros Negativos
ℤ +	Números Inteiros Positivos
ℚ	Números Racionais
I	Números Irracionais
ℝ	Números Reais
ℝ_	Números Reais Negativos
ℝ+	Números Reais Positivos
A U B	A União com B
A ∩ B	A Intersecção com B
A – B	Diferença de A com B
B – A	Diferença de B com A
a < b	a menor que b
a ≤ b	a menor ou igual que b
a > b	a maior que b
a ≥ b	a maior ou igual que b
a ^ b	a e b
a v b	a ou b

Conjunto Vazio:

È o conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por:

                            ∅ ou { }

Subconjuntos:

Quando todos os elementos de um conjunto B qualquer pertencem a outro conjunto A, diz-se então que B é subconjunto de A, ou seja:

                                               B ⊂ A

                       

Observação:

               B ⊂ B   e   ∅ ⊂ B

União de Conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, define-se como união de A com B ao conjunto  A U B formado por todos os elementos que pertencem a A ou B.

                                      
                                              A U B = { x / x  ∈ A ou x ∈ B}

A U B = A

Observações:

A U A = A

A U ∅ = A

Intersecção de conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, define-se como intersecção de A com B ao conjunto A ∩ BBformado por todos os elementos que pertencem a A e a B simultaneamente.

   A ∩ B = { x / x  ∈ A e x ∈ B}B = { x / x  ∈ A e x ∈ B}

A ∩ B = A

                          

OBSERVAÇÃO:

 A ∩ A = A A

A ∩ ∅ = ∅

Diferença de Conjuntos:

Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B ao conjunto A – B formado por todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.

A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}

OBSARVAÇÂO:

Exemplo:

A = {2; 3; 4}

B = {1; 2; 4; 7}

·         A U B = {1; 2; 3; 4; 7}

·         A ∩ B = {2; 4} = {2; 4}

·         A – B = {3}

·         B – A = {1; 7}

Conjunto das Partes de um Conjunto:

O conjunto das partes de um conjunto qualquer é formado por todos os seus subconjuntos.

Se um conjunto A possuir n elementos, o total de subconjuntos que ele admite é igual a 2ⁿ.

Exemplo:

A = {1; 2; 3} ⇒ n = 3

Subconjuntos de A: 2³ = 8

∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

Representação Gráfica

A todo par ordenado (a; b) existe associado um ponto no plano e, reciprocamente, a todo ponto do plano existe associado um par ordenado.

Exemplo:

              A = {1, 2}

              B = {2, 3}

AxB = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2,3)}

Observação:

                   Geralmente, AxB ≠ BxA.